ویژگی مهم هر مجموعه از داده ها ، تغییر در داده ها است. در برخی از مجموعه داده ها ، مقادیر داده نزدیک به میانگین متمرکز شده اند. در سایر مجموعه داده ها ، مقادیر داده ها به طور گسترده ای از میانگین پخش می شوند. متداول ترین اندازه گیری تغییر یا گسترش ، انحراف استاندارد است. انحراف استاندارد عددی است که اندازه گیری مقادیر داده از میانگین آنها چقدر است.

انحراف استاندارد

انحراف استاندارد

• یک اندازه گیری عددی از میزان کلی تغییر در یک مجموعه داده و
• می توان برای تعیین اینکه آیا یک مقدار داده خاص نزدیک یا دور از میانگین است ، استفاده شود.

انحراف استاندارد اندازه گیری از تغییرات کلی در یک مجموعه داده را ارائه می دهد.

انحراف استاندارد همیشه مثبت یا صفر است. انحراف استاندارد در شرایطی که تمام داده ها نزدیک به میانگین متمرکز شده اند ، اندک است و دارای تغییر کمی یا گسترش است. انحراف استاندارد زمانی بزرگتر است که مقادیر داده از میانگین پخش شود و تنوع بیشتری را نشان می دهد.

فرض کنید که ما در حال مطالعه میزان زمانی هستیم که مشتریان در بازپرداخت در سوپر مارکت A و سوپر مارکت B. منتظر می مانیم. میانگین زمان انتظار در هر دو سوپر مارکت پنج دقیقه است. در سوپر مارکت A ، انحراف استاندارد برای زمان انتظار دو دقیقه است. در سوپر مارکت B ، انحراف استاندارد برای زمان انتظار چهار دقیقه است.

از آنجا که سوپر مارکت B ، انحراف استاندارد بالاتری دارد ، می دانیم که در زمان انتظار در سوپر مارکت B. تنوع بیشتری وجود دارد. به طور کلی ، زمان انتظار در سوپر مارکت B از میانگین پخش می شود. زمان انتظار در سوپر مارکت A نزدیک به میانگین متمرکز است.

از انحراف استاندارد می توان برای تعیین اینکه آیا مقدار داده نزدیک به میانگین است یا دور است ، استفاده شود.

فرض کنید که هر دو روزا و بینه در سوپر مارکت A. روزا به مدت هفت دقیقه در پیشخوان پرداخت منتظر می مانند و بینه یک دقیقه منتظر می ماند. در سوپر مارکت A ، میانگین زمان انتظار پنج دقیقه و انحراف استاندارد دو دقیقه است. از انحراف استاندارد می توان برای تعیین اینکه آیا مقدار داده نزدیک به میانگین است یا دور است ، استفاده شود. Z-score یک نمره استاندارد است که به ما امکان می دهد مجموعه داده ها را مقایسه کنیم. این به ما می گوید که مقدار انحراف استاندارد از مقدار داده از میانگین است و به عنوان نسبت تفاوت در یک نمره خاص و میانگین جمعیت به انحراف استاندارد جمعیت محاسبه می شود.

ما می توانیم از اطلاعات داده شده برای ایجاد جدول زیر استفاده کنیم.

از آنجا که روزا و بینه فقط در سوپر مارکت A خرید می کنند ، می توانیم ردیف سوپر مارکت B را نادیده بگیریم.

ما به مقادیر ردیف اول نیاز داریم تا تعداد انحرافات استاندارد را در بالا یا پایین تر از میانگین زمان انتظار برای هر زمان انتظار تعیین کنیم. ما می توانیم این کار را با محاسبه دو Z-Scores مختلف انجام دهیم.

روزا هفت دقیقه صبر کرد ، بنابراین Z-Score که نماینده این انحراف از جمعیت است ممکن است محاسبه شود

Z-Score یکی به ما می گوید که زمان انتظار روزا یک انحراف استاندارد بالاتر از میانگین زمان انتظار پنج دقیقه است.

Binh یک دقیقه صبر کرد ، بنابراین Z-Score که نماینده این انحراف از جمعیت است ممکن است محاسبه شود

z-score −2 به ما می گوید که زمان انتظار Binh دو انحراف استاندارد زیر میانگین زمان انتظار پنج دقیقه است.

مقدار داده ای که دو انحراف استاندارد از میانگین است ، فقط در مرز برای آنچه بسیاری از آمارشناسان می دانند دور از میانگین هستند. در نظر گرفتن داده ها از این فاصله دور است اگر بیش از دو انحراف استاندارد دور باشد ، بیشتر از یک قانون سفت و سخت است. به طور کلی ، شکل توزیع داده ها بر میزان دورتر از دو انحراف استاندارد تأثیر می گذارد. در فصل های بعدی بیشتر در این باره خواهید آموخت.

خط شماره ممکن است به شما در درک انحراف استاندارد کمک کند. اگر قرار بود پنج و هفت را در یک خط شماره قرار دهیم ، هفت در سمت راست پنج است. بنابراین ، ما می گوییم که هفت نفر یک انحراف استاندارد در سمت راست پنج است زیرا 5 + (1) (2) = 7.

اگر یکی نیز بخشی از مجموعه داده ها باشد ، یکی دو انحراف استاندارد در سمت چپ پنج است زیرا 5 + (-2) (2) = 1.

• به طور کلی ، یک مقدار = میانگین + (#OFSTDEV) (انحراف استاندارد)
• جایی که #ofstdevs = تعداد انحرافات استاندارد
• #FSTDEV نیازی به یک عدد صحیح ندارد
• یکی دو انحراف استاندارد کمتر از میانگین پنج است زیرا 1 = 5 + (-2) (2).

مقدار معادله = میانگین + (#OFSTDEVS) (انحراف استاندارد) را می توان برای یک نمونه و برای یک جمعیت به شرح زیر بیان کرد:

• نمونه: x = x ¯ + ( # o f s t d e v) (s) x = x ¯ + ( # o f s t d e v) (s)
• جمعیت: x = μ + ( # o f s t d e v) (σ). x = μ + ( # o f s t d e v) (σ).

حرف کوچک S نشان دهنده انحراف استاندارد نمونه است و حرف یونانی σ (مورد پایین) نشان دهنده انحراف استاندارد جمعیت است.

محاسبه انحراف استاندارد

اگر x یک عدد باشد ، تفاوت x - میانگین انحراف آن نامیده می شود. در یک مجموعه داده ، انحرافات زیادی وجود دارد که مواردی در مجموعه داده ها وجود دارد. از انحرافات برای محاسبه انحراف استاندارد استفاده می شود. اگر این تعداد متعلق به یک جمعیت باشد ، در نمادها ، انحراف x - μ است. برای داده های نمونه ، در نمادها ، انحراف X - x ¯ x است.

روش محاسبه انحراف استاندارد بستگی به این دارد که آیا این تعداد کل جمعیت هستند یا داده های یک نمونه هستند. محاسبات مشابه هستند اما یکسان نیستند. بنابراین ، نمادی که برای نشان دادن انحراف استاندارد استفاده می شود ، بستگی به این دارد که آیا از یک جمعیت یا یک نمونه محاسبه می شود. حرف کوچک S نشان دهنده انحراف استاندارد نمونه است و حرف یونانی σ (سیگما کوچک) نشان دهنده انحراف استاندارد جمعیت است. اگر نمونه از ویژگی های مشابه جمعیت برخوردار باشد ، باید S تخمین خوبی از σ باشد.

اگر اعداد از سرشماری کل جمعیت و نه نمونه حاصل شود ، وقتی میانگین انحراف مربع را برای یافتن واریانس محاسبه می کنیم ، تعداد موارد موجود در جمعیت را تقسیم می کنیم. اگر داده ها از یک نمونه به جای جمعیت باشد ، وقتی میانگین انحراف مربع را محاسبه می کنیم ، با N - 1 تقسیم می شویم ، یکی کمتر از تعداد موارد موجود در نمونه.

فرمول برای انحراف استاندارد نمونه

• s = σ (x - x ¯) 2 n - 1 s = σ (x - x ¯) 2 n - 1 یا s = σ f (x - x ¯) 2 n - 1 s = σ f (x - x ¯) 2 n - 1
• برای انحراف استاندارد نمونه ، مخرج n - ؛یعنی اندازه نمونه منهای 1.

فرمول برای انحراف استاندارد جمعیت

• σ = σ (x - μ) 2 n σ = σ (x - μ) 2 n یا σ = σ f (x - μ) 2 n σ = σ f (x - μ) 2 n
• برای انحراف استاندارد جمعیت ، مخرج N ، تعداد موارد موجود در جمعیت است.

در این فرمولها ، F فرکانس را نشان می دهد که یک مقدار با آن ظاهر می شود. به عنوان مثال ، اگر یک مقدار یک بار ظاهر شود ، F یکی است. اگر یک مقدار در مجموعه داده ها یا جمعیت سه بار ظاهر شود ، F سه است.

انواع تنوع در نمونه ها

انواع تنوع در نمونه ها

هنگامی که محققان یک جمعیت را مطالعه می کنند ، آنها اغلب از یک نمونه استفاده می کنند ، چه برای راحتی یا به دلیل دسترسی به کل جمعیت امکان پذیر نیست. تغییرپذیری اصطلاحی است که برای توصیف تفاوت هایی که ممکن است در این نتایج رخ دهد ، استفاده می شود. انواع متداول تنوع شامل موارد زیر است:

• تنوع مشاهده یا اندازه گیری
• تنوع طبیعی
• تنوع ناشی از
• تنوع نمونه

در اینجا چند نمونه برای توصیف هر نوع تغییرپذیری آورده شده است.

مثال 1: تنوع اندازه گیری

تنوع اندازه گیری زمانی اتفاق می افتد که در ابزارهای مورد استفاده برای اندازه گیری یا در افرادی که از آن ابزارها استفاده می شود ، اختلافاتی وجود داشته باشد. اگر ما در حال جمع آوری داده هایی در مورد اینکه چقدر طول می کشد توپ از ارتفاع از ارتفاع استفاده می کند با دانش آموزان زمان افت با یک کرنومتر را اندازه گیری می کند ، ممکن است اگر دو کرنومتر مورد استفاده توسط تولید کنندگان مختلف ساخته شود ، تنوع اندازه گیری را تجربه کنیم. به عنوان مثال ، یک کرنومتر به نزدیکترین دوم اندازه گیری می کند ، در حالی که دیگری به نزدیکترین دهم ثانیه اندازه گیری می کند. ما همچنین ممکن است تنوع اندازه گیری را تجربه کنیم زیرا دو نفر مختلف داده ها را جمع می کنند. زمان واکنش آنها در فشار دادن دکمه روی کرنومتر ممکن است متفاوت باشد. بنابراین ، نتایج بر این اساس متفاوت خواهد بود. تفاوت در نتایج ممکن است تحت تأثیر تنوع اندازه گیری باشد.

مثال 2: تنوع طبیعی

تنوع طبیعی ناشی از اختلافاتی است که به طور طبیعی رخ می دهد زیرا اعضای یک جمعیت با یکدیگر متفاوت هستند. به عنوان مثال ، اگر ما دو گیاه ذرت یکسان داشته باشیم و هر دو گیاه را به همان مقدار آب و نور خورشید در معرض دید قرار دهیم ، ممکن است آنها هنوز هم با سرعت های مختلف رشد کنند زیرا آنها دو گیاه ذرت متفاوت هستند. تفاوت در نتایج ممکن است با تنوع طبیعی توضیح داده شود.

مثال 3: تنوع ناشی از

تنوع ناشی از همتای تنوع طبیعی است. این امر به این دلیل اتفاق می افتد که ما به طور مصنوعی یک عنصر تغییر ایجاد کرده ایم که به تعریف ، به طور طبیعی وجود نداشته است. به عنوان مثال ، ما افراد را به دو گروه مختلف برای مطالعه حافظه اختصاص می دهیم و با محدود کردن میزان خواب آنها ، متغیر را در یک گروه القا می کنیم. تفاوت در نتایج ممکن است تحت تأثیر تنوع ناشی از آن باشد.

مثال 4: تنوع نمونه

تنوع نمونه زمانی اتفاق می افتد که نمونه های تصادفی متعدد از همان جمعیت گرفته می شوند. به عنوان مثال ، اگر من چهار نظرسنجی از 50 نفر را که به طور تصادفی از یک جمعیت خاص انتخاب شده اند انجام دهم ، تفاوت در نتایج ممکن است تحت تأثیر تنوع نمونه باشد.